Trigonometria (formule)

Risoluzione dei triangoli

La trigonometria è una parte della matematica il cui scopo è quello di calcolare i valori degli elementi (lati e angoli) di un triangolo, noti che siano tre di essi tra qui almeno un lato. Sono state introdotte, a questo scopo, alcune funzioni degli angoli, dette funzioni trigonometriche, legate ai lati da semplici relazioni. Le funzioni trigonometriche o funzioni circolari sono: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Fondamentali relazioni della trigonometria sono: "Teorema dei seni" e "Teorema di Carnot".

 
Calcolatore trigonometrico sen-cos-tan-cotg
 

sin   °    

 

 cos  °    

   

 
 
tan   °        
 
cotg  °        
 

Convertitore gradi da sessagesimale a decimale e viceversa

Sistema sessagesimale Sistema decimale
Gradi ° mm
Primi '
Secondi "

Formule di trigonometria

α α
sen α
cos α
tan α
cotg α
0
0
1
0
 30° π
6
1
2
√3
2
√3
3
 √3
 45°π
4
√2
3
√2
2
 1  1
 60°π
3
√3
2
1
2
√3 
√3
3
 90°π
2
 10  0 
sen² α+cos² α=1 sen α=±1- cos² α cos α=±√1- sen² α  cos α=±         1          
               √1+tan² α
cos α=±     tan α     
              √1+tan² α
Formule di addizione
 cos (α+β)=cos α * cos β - sen α*sen β
    sen (α+β)=sen α * cos β + cos α *sen β
tang (α+β)= tan α+tan β   
                       1-tan α*tan β
cotg (α+β)= cotg α*cotg β-1   
                       cotg α + cotg β
Formule di sottrazione
cos (α-β)=cos α*cos β - sen α*sen β    
sen (α-β)=sen α*cos β - cos α*sen β   
tan (α-β)=tan α - tan β   
                       1+tan α*tan β
cotg (α-β)=  cotg α*cotg β   
                       cotg β - cotg α
Formule di duplicazione
sen 2*α=2*sen α*cos α
cos 2*α=cos²α-sen²α ;=2*cos²α-1; =1-2*sen α
tan 2*α= 2*tan α 
                  1-tan²α
Formule di triplicazione
sen 3α=3 * sen α-4 * sen³ α                  cos 3α=4 * cos³ α-3 * cos α 
Formule di bisezione

Formule parametriche

sen α=± √1-cos α
  2             2
t=tan α
         2
sen α =   2t   
             1+t²
  cos α =   1-t²   
               1+t²
 tan α =   2*t   
             1-t²
cos α= ± √1+cos α
  2            2
tan α=√1-cos α
        2      1+cos α
tan α=1-cos α
     2     sen α
tan αsen α
          2   1+cos α
Formule di prostaferesi
sen p + sen q=2*sen  p + q cos p - q
                                   2              2
sen p - sen q=2*sen  p - q*cos p + q
                                2             2
cos p + sen q=2*cos  p + q*cos p - q
                                 2              2
cos p - sen q=2*sen  p + q *sen p - q
                                 2                2
tan p±tan q=sen  p ± q
                        cos p*cos q                  
[con p e q ≠(2*k+1)* π  ]
                               2
cotg p±cotg q=sen(p±q)
        sen p*sen q
[con p e q ≠k* π ]
Formule per la risoluzione dei triangoli con la funzione degli angoli
Triangolo rettangolo
a=    c    
    sen γ
a=     c      
      cos β
tan γ=  c  
           b
a=    b    
    sen β
a=     b      
      cos γ
tan γ=  b  
           c

b=a*sen β

b=c*cos γ

b=     c      
      tanγ

b=c*cotg γ

b=c*tan β

b=     c      
      cotgβ
cotg β=  c  
               b
cotg γ=  b  
               c
 
c=b*tan γ
c=b*cotgβ
c=    b    
    cotg γ
c=    b    
    cotg γ
 
senγ=    c    
         a
cosγ=    b    
          a
 
cosβ=    c    
          a
senβ=    b    
          a
 
Triangolo qualunque
a²=b²+c²-2*b*c*cos α
=a²+c²-2*a*c*cos β
=a²+b²-2*a*c*cos γ
      a           b     =      c    
                sen α        sen β        sen γ             
area del triangolo
                      1   *b*c*senα  
   2   
                     1   *α*c*senβ
     2   
                     1   *α*b*senγ
     2   

=funzioni trigonometriche rappresentate graficamente

Esempio di uso della trigonometria su particolare meccanico
Guida a coda di rondine "maschio"

Guida a coda di rondine "femmina"

Tabella trigonometrica dei seni e dei coseni
sen00'10'20'30'40'50'60'cos
00,00000,00250,00580,00870,01160,01450,017489
10174020402330262029103200,34988
2034903780407043604650494052387
3052305520581061006390668069886
4069807270756078508140843087285
50,08720,09000,09290,09580,09870,10160,104584
61045100%1103113211611190121983
7121912481276130513341363139282
813921420144914781507 1536156481
9156415931622165016791708173680
100,17360,17650,17940,18220,18510,18790,190879
11190819371965199420222051207978
12207921072136216421932221224977
13224922782306233423632391241976
14241924472476250425322560258875
150,25880,26160,26440,26720,27000,27280,275674
16275627842812284028682906292473
17292429512979300730353062309072
183090311831453173 32013228325671
19325632833311333833653393342070
200,34200,34470,34750,35020,35290,35560,358469
21358436113638366536923719374668
22374637733800382738543880390767
23390739343961398740144041406766
24406740944120414741734200422665
250,42260,42520,42790,43050,43310,43570,438464
26438444104436446244884514454063
27454045664592461746434669469562
28469547204746 477247974823484861
29484848734909492449494975500060
300,50000,50250,50500,50750,51000,51250,515059
31515051755200522552505274529958
32529953245348537353975422544657
33544654715495551955445568559256
34559256165640566456885712573655
35057360,57590,57830,58070,58310,58540,587854
36587859015925594859715995601853
37601860416064608861116134615752
3861576179 6202622562486270629351
39629363166338636163836405642850
40064280,64500,64720,64940,65160,65390,656149
41656165826604662666486670669148
42669167136734675667776799682047
43682068416862688369056926694646
44694669676988700970307050707145
450,70710,70920,71120,71320,71530,71730,719344
46719372137234725472747294731343
47731373337353737373927412743142
487431 74517470749075097528754741
49754775667585760476237642766040
500,76600,76790,76970,77160,77350,77530,777139
51777177907808782678447862788038
52788079087916793379517969798637
53798680048021803880568073809036
54809081078124814181588175100%135
550,100%10,82080,82250,82410,82580,82740,829034
56829083068323833983558371838733
57838784028418843484498465848032
58 848084968511852685418557857231
59857285878601861686318646866030
600,86600,86750,86900,87030,87180,87320,874629
61874687608774878888028816882928
62882988438857887088838907901027
63901090239036904990629075908826
64908890019012902690389051906325
650,90630,90750,90870,91000,1120,91230,913524
66913591479159917191829194920523
67920592169228923992509261927222
689272928392939304931593259336 21
69933693469356936493779387939720
700,93970,94070,94170,94260,94360,94460,945519
71945594659474948394929501951018
72951095199528953795469554956317
73956395719580958895969604961316
74961396209628963696449652965915
750,96590,96670,96740,96810,96900,96950,970314
76970397109717972497209737974413
77974497509757976397699775978112
78978197879793979998059811981611
799816982298279832 98389842984810
800,98480,98530,98580,98630,98680,98720,98779
8198779881988699009904990899038
8299039907991199149918992299257
8399259929993299369939994299456
8499459948995199549957995999625
850,99620,99640,99670,99690,99710,99730,99764
8699769978997999819983998599863
8799869988999099909992999399942
8899949995999699969997999899981
899998999999999999999999991,00000
sen60' 50'40'30'20'10'00'cos
Info sulla trigonometria QUI